ABBASSAMENTO DI GRADO DI UN’EQUAZIONE

E’ un’operazione che consiste nel trasformare una data equazione di grado n nel prodotto di più equazioni ognuna di grado minore di n e tali che la somma dei loro gradi sia uguale a n.

Tutte e sole le radici dell’equazione di partenza si ritrovano tra le radici delle equazioni in cui essa si è trasformata.

Esempio

Data l’equazione di 3° grado

e scomposto in fattori il primo membro, essa si può abbassare di grado nel seguente modo:

Si hanno quindi le seguenti equazioni:

le cui radici sono 0, -1 e 2/3  e sono tutte e sole le radici dell’equazione di partenza.

Naturalmente, non sempre un’equazione può abbassarsi di grado perché non sempre è possibile scomporre in fattori il suo primo membro, come nel seguente esempio:

dove il trinomio a primo membro non è scomponibile in fattori.        

Come pure, può avvenire che il primo membro dell’equazione sia scomponibile in fattori non tutti reali, ma reali e/o immaginari, come per esempio:

Il primo membro di questa equazione si annulla per x=1, perciò, scomponendo in fattori con Ruffini, si ha:

in questa scomposizione, il trinomio in parentesi al primo membro ha il discriminante negativo per cui le sue radici sono immaginarie e sono esattamente le seguenti:

  Ne risulta, in definitiva, che il primo membro dell’equazione data si può scomporre nel seguente modo:           

 

e l’equazione stessa risulta abbassata di grado:

Da notare che anche qui è rispettata la regola generale per cui tutte e sole le radici dell’equazione di partenza, che sappiamo essere le seguenti:

 

si ritrovano tra quelle delle singole equazioni in cui essa si è scomposta: