E’ un insieme A in cui sono definite due leggi interne, che possiamo indicare con i simboli + e #, tali che:

- A sia un gruppo abeliano rispetto alla legge +;
- la legge # sia associativa;
- valgano le leggi distributive sinistra e destra:
a#(b+c) = a#b + a#c = (b+c)#a

Esempio 1.

L’insieme Z dei numeri interi relativi (…-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4,…) è un anello rispetto alla normale addizione + e alla normale moltiplicazione x


Infatti:
- Rispetto all’addizione + si sa che l’insieme Z è un gruppo abeliano (ossia commutativo);
- se a e b sono due numeri interi relativi qualsiasi, si ha:
(axb)xc = ax(bxc)
e perciò la legge x è associativa;
- se a, b, c sono tre numeri interi relativi qualsiasi, si ha:
ax(b+c) = axb+ axc = (b+c)xa
e quindi valgono le leggi distributive sia sinistra che destra.

 

Esempio 2.

L’insieme N dei numeri naturali (0, 1, 2, 3, 4, …), in cui consideriamo la normale addizione + e la normale moltiplicazione x, non è un anello, perché – pur contenendo l’elemento neutro rispetto all’addizione (che è 0) e l’elemento neutro rispetto alla moltiplicazione (che è 1) – nessuno degli altri suoi elementi è simmetrizzabile né rispetto all’addizione, né rispetto alla moltiplicazione, e quindi N non è un gruppo, tanto meno un gruppo abeliano. Infatti, preso ad esempio il numero 3, in N non esiste un altro numero naturale che sommato a 3 dia 0, né che moltiplicato per 3 dia 1.
Sono valide, invece, le altre due proprietà, ossia l’associatività – che vale sia per l’addizione che per la moltiplicazione – che la distributività, che vale naturalmente per la moltiplicazione rispetto all’addizione.