ALGORITMO

E’ un procedimento, formulato rigorosamente, in base al quale si ottengono determinati risultati attraverso una sequenza ben precisa di operazioni aritmetiche e/o logiche. Un tale procedimento deve rispettare i seguenti canoni:

- i passi che lo costituiscono non devono essere ambigui, ossia devono essere interpretabili in modo diretto e univoco dall'esecutore, sia esso umano o artificiale;

- i passi che lo costituiscono devono essere in numero finito e devono partire da un numero finito di dati in ingresso;

- l’esecuzione del procedimento deve aver termine in un tempo finito;

- l'esecuzione deve portare a un risultato univoco.

Esempio 1. Algoritmo dell’addizione.

Per calcolare la somma dei due numeri 345,6 e 2469, si ricorre al seguente algoritmo:

1 – Si incolonnano i due numeri in modo che le unità di uno stesso ordine siano una sotto l’altra: nel caso che uno solo dei numeri abbia cifre decimali, nell’altro si aggiungono degli zeri al posto dei decimali; si traccia poi una linea orizzontale sotto il secondo addendo:

  3 4 5  ,  6  +
 2  4  6  9  ,  0  =

 

2 – cominciando da destra, si sommano le unità dello stesso ordine e il risultato si scrive sotto la linea orizzontale; nel caso che il risultato superi 9, si scrive soltanto la seconda cifra e quando si fa la somma delle due cifre immediatamente a sinistra, vi si aggiunge una unità:

  3 4 5  ,  6  +
 2  4  6  9  ,  0  =
2 8 1 4 , 6  

In modo analogo si stabiliscono gli algoritmi delle altre operazioni matematiche.

 

 

Esempio 2

Algoritmo della costruzione di un segmento la cui lunghezza misuri √3.

1- Si traccia un segmento AB di lunghezza 4 cm (come unità di misura se ne potrebbe scegliere anche una diversa dal cm, non cambierebbe niente) e su di esso si indica il punto H che dista da A 3 cm.

2- Si traccia una semicirconferenza di diametro AB

3- Dal punto H si innalza la perpendicolare ad AB fino ad incontrare la semicirconferenza in un punto C.

4- Si unisce C con A e con B, ottenendosi il triangolo ABC.

5- Tale triangolo è rettangolo in C perché è inscritto in una semicirconferenza.

6- L’altezza CH relativa all’ipotenusa del triangolo ABC obbedisce al 2° teorema di Euclide, ossia è media proporzionale tra le proiezioni AH e HB dei cateti sull’ipotenusa, per cui si ha:

AH : CH = CH : HB;

passando alle misure e ricordando che AH = 3 e HB = 1, si ottiene:

3 : CH = CH : 1

CH2 = 3

CH = √3

CH è dunque il segmento cercato (vedi figura illustrativa qui di seguito).

 

Da notare che il procedimento or ora eseguito rispetta tutte le norme elencate al principio di quest’articolo, esso pertanto è da considerarsi un algoritmo. Questo algoritmo, inoltre, potrebbe servire – tale e quale com’è – per trovare il segmento la cui lunghezza sia uguale alla radice quadrata di qualsiasi altro numero che non sia 3. Se, per esempio, volessimo il segmento la cui lunghezza sia uguale a√7  , basterebbe considerare la semicirconferenza di diametro 7+1 = 8: tutto l’altro resterebbe invariato.

 Da osservare, inoltre, che nel corso dell’algoritmo abbiamo utilizzato i risultati di altri algoritmi che abbiamo ritenuti già acquisiti. Essi sono:

-    tracciare una semicirconferenza, dato il diametro;

-    tracciare la perpendicolare ad un segmento in un suo punto H;

tali algoritmi sono da considerarsi come “sotto-algoritmi” dell’algoritmo principale e non vengono sviluppati per non appesantire il procedimento.

 

                  

ABBASSAMENTO DI GRADO DI UN’EQUAZIONE

E’ un’operazione che consiste nel trasformare una data equazione di grado n nel prodotto di più equazioni ognuna di grado minore di n e tali che la somma dei loro gradi sia uguale a n.

Tutte e sole le radici dell’equazione di partenza si ritrovano tra le radici delle equazioni in cui essa si è trasformata.

Esempio

Data l’equazione di 3° grado

e scomposto in fattori il primo membro, essa si può abbassare di grado nel seguente modo:

Si hanno quindi le seguenti equazioni:

le cui radici sono 0, -1 e 2/3  e sono tutte e sole le radici dell’equazione di partenza.

Naturalmente, non sempre un’equazione può abbassarsi di grado perché non sempre è possibile scomporre in fattori il suo primo membro, come nel seguente esempio:

dove il trinomio a primo membro non è scomponibile in fattori.        

Come pure, può avvenire che il primo membro dell’equazione sia scomponibile in fattori non tutti reali, ma reali e/o immaginari, come per esempio:

Il primo membro di questa equazione si annulla per x=1, perciò, scomponendo in fattori con Ruffini, si ha:

in questa scomposizione, il trinomio in parentesi al primo membro ha il discriminante negativo per cui le sue radici sono immaginarie e sono esattamente le seguenti:

  Ne risulta, in definitiva, che il primo membro dell’equazione data si può scomporre nel seguente modo:           

 

e l’equazione stessa risulta abbassata di grado:

Da notare che anche qui è rispettata la regola generale per cui tutte e sole le radici dell’equazione di partenza, che sappiamo essere le seguenti:

 

si ritrovano tra quelle delle singole equazioni in cui essa si è scomposta:

 

 

 

 

Per ogni coppia a, b di numeri reali positivi esiste (almeno) un intero positivo N tale che


Osservazioni.
Questo assioma viene talvolta trattato come teorema e, come tale, viene dimostrato (ricorrendo ad una dimostrazione per assurdo). Altre volte viene enunciato come Principio. Insomma c’è un po’ di confusione.
Si tratta, comunque, di un’affermazione talmente intuitiva che può sembrare addirittura banale. Ma evidentemente essa riveste una certa importanza, perché in alcuni argomenti di algebra o di geometria si ricorre ad essa per andare avanti nella dimostrazione di ciò che si sta trattando.
In ogni caso, se ci fosse un Tizio che dovesse persistere nella banalità di questo assioma, gli si potrebbe prospettare la seguente spiegazione visiva:
Supponiamo che egli sia munito di un piccolo righello lungo 20 cm e che con esso voglia misurare un segmento lungo 800 milioni di chilometri. “Ce la farò?”, si potrebbe egli domandare. Ebbene, a dargli conforto interverrebbe proprio Archimede dicendogli: “Certo che ce la farai: basta che tu abbia la pazienza di usare il tuo righello 4.000 miliardi di volte più una”, e gli farebbe il seguente calcolo:
                  4.000.000.000.001•20 cm = 80.000.000.000.002 cm = 800.000.000,00002 km > 800.000.000 km
Quindi con questa operazione quel Tizio può arrivare fino all’altro estremo del lunghissimo segmento e superarlo, anche se di poco, dando ragione alla formula dell’assioma sopra riportato, nella quale, nel suo caso, dati



si è trovato per N il valore 4.000.000.000.001.

 

Se A e B costituiscono una sezione dell’insieme Q+ dei numeri razionali positivi tali che tutti i numeri appartenenti ad A siano minori di tutti quelli appartenenti a B e l’insieme A non sia dotato di massimo, allora esiste un unico numero reale L tale che

        

         

      Il numero L si chiama elemento separatore delle classi A e B e potrebbe anche non appartenere a Q+, ossia non essere un numero razionale positivo, come appare dal seguente esempio.

 

Esempio.

                Consideriamo la classe A dei numeri razionali positivi il cui quadrato sia minore di 3 , ossia in simboli

                                                       

e la classe B costituita da tutti i numeri razionali positivi il cui quadrato sia  maggiore o uguale a 3:

                                                 

                Qualunque sia il numero  e qualunque sia il numero , si ha:

                                                 

il numero L = √3   è, perciò, l’elemento separatore delle classi A e B ed esso non è un numero razionale positivo, bensì, come sappiamo, è un numero irrazionale. Anzi, questo modo di introdurre i numeri irrazionali come elementi di separazione tra due classi contigue di numeri razionali è stato il merito principale di Dedekind quando ha introdotto il suo assioma.

                Per essere più precisi, dall’esempio ora visto si evince la definizione del numero irrazionale √3 come elemento di separazione (che, in virtù dell’assioma di Dedekind, esiste) tra la classe costituita da tutti i numeri razionali positivi il cui quadrato è minore di 3 e la quella costituita da tutti i numeri razionali positivi il cui quadrato è maggiore o uguale a 3 (classi che sono contigue). E in maniera analoga si definiscono tutti gli altri numeri irrazionali.

 

In un triangolo avente i lati lunghi a, b, c, l’altezza h(a) relativa al lato a è data da


dove p è il semiperimetro.
In maniera analoga si trovano le altezze relative ai lati b e c:


Esempio.
Un triangolo ha i lati lunghi rispettivamente:
                                                                      
Calcolare l’altezza relativa al lato a.
Calcoliamo prima la lunghezza del semiperimetro:

Si ha quindi: