AFFINITA’ PIANA

Nel piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (x,y) consideriamo un punto qualsiasi P(x,y) e supponiamo che le sue coordinate siano

 

 

Conveniamo adesso che con la scrittura

intendiamo dire che nella (1) al posto di x sostituiamo l’espressione x-2y-3 e al posto di y sostituiamo l’espressione 2x+y-2. In tal modo avremo che la (1) si trasforma nel seguente sistema:

Notiamo che questo sistema ha il determinante Δ dei coefficienti diverso da zero, infatti:

per cui il sistema ammette una soluzione, che è la seguente:

e questi numeri rappresentano le coordinate di un altro punto P’(3; -1).

In tal modo, partendo dal punto P(2;3) siamo pervenuti ad un altro punto P’(3;-1) utilizzando la trasformazione (2).

 Seguendo lo stesso procedimento e sempre utilizzando la trasformazione (2), potremmo portare qualsiasi altro punto del piano in un punto diverso. Ma non solo, potremmo portare un’intera retta in un’altra retta nel seguente modo:

-    sia r una retta del piano di equazione

 

- applichiamo ad essa la trasformazione (2):

Anche qui, dunque, partendo da una retta (r), siamo pervenuti ad un’altra retta (r’).

In conclusione, possiamo dire che la trasformazione (2) porta punti in punti e rette in rette. A questa trasformazione – di equazioni (2) – diamo il nome di affinità piana.

Tutto quanto fin qui detto viene illustrato dalla seguente Fig.1:

                                                                           Fig. 1

Generalizzando, si dice affinità piana una trasformazione di equazioni

                                                                  

nella quale dev’essere

Un’affinità piana porta sempre punti in punti e rette in rette. Nulla possiamo dire in generale nel caso che volessimo trasformare con un’affinità una curva la cui equazione sia di grado superiore a 1, perché, in questo caso, la natura della curva trasformata dipenderebbe dal valore dei coefficienti a, b, c, d.

 Ma un’affinità piana, oltre alla proprietà suddetta di trasformare sempre rette in rette, ne presenta anche altre, che adesso andiamo subito ad esaminare.

A)    Un’affinità piana conserva il parallelismo, ossia trasforma due rette parallele in due rette anch’esse parallele.

B)    In un'affinità a rette incidenti corrispondono rette incidenti.

C)    In un'affinità è costante il rapporto delle aree, ossia dati due poligoni P1 e P2 e detti P’1 e P’2 i loro corrispondenti nell’affinità, si ha

 

D) Un’affinità conserva il punto medio di un segmento, ossia, dato un segmento AB e il suo corrispondente A’B’ nell’affinità, al punto medio M di AB corrisponde nell’affinità il punto medio M’ di A’B’.

Riportiamo anche alcuni esempi di proprietà che non si conservano a seguito dell’applicazione di una affinità:

1.     distanza fra due punti (o equivalentemente, lunghezza di un segmento);

2.     la direzione;

3.     l'ampiezza degli angoli.

Possiamo pertanto affermare che un'affinità non conserva né le dimensioni (poiché non conserva la lunghezza) né la forma (poiché non conserva gli angoli).

Per chiudere, facciamo ora un esempio per ciascuno dei punti A), B), C) e D), prendendo come affinità quella rappresentata dal seguente sistema:

A) Siano date le seguenti rette

che sono parallele tra di loro avendo lo stesso coefficiente angolare 2.

Applichiamo ad esse l’affinità (3):

 

Come si vede, anche le due rette s’1 e s’2 hanno lo stesso coefficiente angolare e, quindi, sono anch’esse parallele come s1 e s2. Vedi Fig.2.

Fig. 2

Dalla Fig.2 si evince anche che la retta s’1 ha una direzione diversa dalla retta s1 di cui è la trasformata; stessa cosa per la retta s’2. Questo prova quanto affermato più sopra, che cioè l’affinità non conserva la direzione.

 

B)    

C)    Per illustrare la proprietà C) facciamo riferimento alla Fig.3, nella quale, per semplificare le cose, sono stati scelti due triangoli abbastanza semplici:

il triangolo AOB, i cui vertici sono A(0;2), O(0;0), B(3;0),

e il triangolo CDE, i cui vertici sono C(5;0), D(7;0), E(6;1).

Si ha:

Il rapporto di tali aree è dunque 3.

Calcoliamo adesso il rapporto delle aree dei due triangoli che si ottengono trasformando con l’affinità (3) i triangoli AOB e CDE. Per farlo bisogna vedere l’affinità data dove porta i vertici A,O,B,C,D,E.

Senza addentrarsi nei calcoli (che si lasciano al lettore), si trova quanto segue:

il punto A si porta nel punto A’(-3;4);

il punto O si porta nel punto O’(-1;2);

il punto B si porta nel punto B’(-4;8);

il punto C si porta nel punto C’(-6;12);

il punto D si porta nel punto D’(-8;16);

il punto E si porta nel punto E’(-8;15).

Dunque, il triangolo AOB si è trasformato nel triangolo A’O’B’ e il triangolo CDE nel triangolo C’D’E’; occorre ora calcolare le aree di questi due nuovi triangoli.

Osservando attentamente la Fig.3, si possono agevolmente comprendere i seguenti calcoli:

 

Area(A’B’O') = Area(B’PO’) – Area(B’PA’) – Area(A’PO’) =

MANCA QUALCOSA

 

E questo rapporto è uguale a quello precedentemente calcolato, il che prova che l’affinità conserva i rapporti fra le aree.

                                                                              

                                                                        Fig. 3

D) Utilizzando sempre l’affinità (3), consideriamo i seguenti due punti:

A(3;5)

B(7;7);

E il loro punto medio M ha le seguenti coordinate:

MANCA QUALCOSA

I punti A’ e B’ corrispondenti ai punti A e B nell’affinità sono i seguenti (anche qui, per brevità, si omettono i calcoli, che vengono lasciati al lettore):

A’(-9;13)

B’(-15;23)

E il loro punto medio M’ ha le seguenti coordinate:

                                                                

Andiamo ora a verificare che l’affinità (3) porta il punto medio M(5;6) del segmento AB proprio nel punto medio M’(-12;18) del segmento A’B’ (e questa volta riportiamo i calcoli):

                                                                                                       

e anche la proprietà D) è verificata. La Fig.4 ne illustra la situazione:

ig. 4