Data una parabola di equazione



l’aberrazione di curvatura φ in un suo punto di ascissa x0 è data da

Esempio.
Poiché l’ascissa del vertice di una parabola è data da



l’aberrazione di curvatura in tale punto è


 

AFFINITA’ PIANA

Nel piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (x,y) consideriamo un punto qualsiasi P(x,y) e supponiamo che le sue coordinate siano

 

 

Conveniamo adesso che con la scrittura

intendiamo dire che nella (1) al posto di x sostituiamo l’espressione x-2y-3 e al posto di y sostituiamo l’espressione 2x+y-2. In tal modo avremo che la (1) si trasforma nel seguente sistema:

Notiamo che questo sistema ha il determinante Δ dei coefficienti diverso da zero, infatti:

per cui il sistema ammette una soluzione, che è la seguente:

e questi numeri rappresentano le coordinate di un altro punto P’(3; -1).

In tal modo, partendo dal punto P(2;3) siamo pervenuti ad un altro punto P’(3;-1) utilizzando la trasformazione (2).

 Seguendo lo stesso procedimento e sempre utilizzando la trasformazione (2), potremmo portare qualsiasi altro punto del piano in un punto diverso. Ma non solo, potremmo portare un’intera retta in un’altra retta nel seguente modo:

-    sia r una retta del piano di equazione

 

- applichiamo ad essa la trasformazione (2):

Anche qui, dunque, partendo da una retta (r), siamo pervenuti ad un’altra retta (r’).

In conclusione, possiamo dire che la trasformazione (2) porta punti in punti e rette in rette. A questa trasformazione – di equazioni (2) – diamo il nome di affinità piana.

Tutto quanto fin qui detto viene illustrato dalla seguente Fig.1:

                                                                           Fig. 1

Generalizzando, si dice affinità piana una trasformazione di equazioni

                                                                  

nella quale dev’essere

Un’affinità piana porta sempre punti in punti e rette in rette. Nulla possiamo dire in generale nel caso che volessimo trasformare con un’affinità una curva la cui equazione sia di grado superiore a 1, perché, in questo caso, la natura della curva trasformata dipenderebbe dal valore dei coefficienti a, b, c, d.

 Ma un’affinità piana, oltre alla proprietà suddetta di trasformare sempre rette in rette, ne presenta anche altre, che adesso andiamo subito ad esaminare.

A)    Un’affinità piana conserva il parallelismo, ossia trasforma due rette parallele in due rette anch’esse parallele.

B)    In un'affinità a rette incidenti corrispondono rette incidenti.

C)    In un'affinità è costante il rapporto delle aree, ossia dati due poligoni P1 e P2 e detti P’1 e P’2 i loro corrispondenti nell’affinità, si ha

 

D) Un’affinità conserva il punto medio di un segmento, ossia, dato un segmento AB e il suo corrispondente A’B’ nell’affinità, al punto medio M di AB corrisponde nell’affinità il punto medio M’ di A’B’.

Riportiamo anche alcuni esempi di proprietà che non si conservano a seguito dell’applicazione di una affinità:

1.     distanza fra due punti (o equivalentemente, lunghezza di un segmento);

2.     la direzione;

3.     l'ampiezza degli angoli.

Possiamo pertanto affermare che un'affinità non conserva né le dimensioni (poiché non conserva la lunghezza) né la forma (poiché non conserva gli angoli).

Per chiudere, facciamo ora un esempio per ciascuno dei punti A), B), C) e D), prendendo come affinità quella rappresentata dal seguente sistema:

A) Siano date le seguenti rette

che sono parallele tra di loro avendo lo stesso coefficiente angolare 2.

Applichiamo ad esse l’affinità (3):

 

Come si vede, anche le due rette s’1 e s’2 hanno lo stesso coefficiente angolare e, quindi, sono anch’esse parallele come s1 e s2. Vedi Fig.2.

Fig. 2

Dalla Fig.2 si evince anche che la retta s’1 ha una direzione diversa dalla retta s1 di cui è la trasformata; stessa cosa per la retta s’2. Questo prova quanto affermato più sopra, che cioè l’affinità non conserva la direzione.

 

B)    

ABERRAZIONE DI CURVATURA

Siano dati una curva C e un suo punto P e si considerino la tangente t e la normale n a C in P.

Inoltre, il punto P non sia di flesso, cioè sia tale che la retta tangente t non attraversi la curva. In questa ipotesi, esisterà una parte della curva C intorno a P che si trova tutta da una stessa parte rispetto alla tangente t.

Consideriamo allora una seconda retta s che sia parallela a t e tagli quell’intorno in due punti A e B.

Sia M il punto medio del segmento AB e sia r la retta passante per P e per M.

Se chiamiamo con a l’angolo formato tra le rette n e r, possiamo essere sicuri che tale angolo, per il modo con cui è stato costruito, è minore di un angolo retto.

 

Si chiama aberrazione di curvatura della curva C nel punto P il valore a cui tende l’angolo a quando la retta s tende a sovrapporsi alla retta t.

La parola "aberrazione", che di per sé vuol dire "anomalia", "irregolarità", si riferisce al fatto che di solito tendiamo a considerare "regolari" quei punti di una curva tali che alla loro destra e alla loro sinistra - almeno per un certo tratto - la curva stessa presenta una uguale forma di curvatura. Un esempio molto lampante sono i punti di una circonferenza. Preso, infatti, un qualsiasi punto di una circonferenza e ripetendo per esso la stessa costruzione fatta nel disegno di cui sopra, ci accorgiamo delle seguenti circostanze:

- l'arco di circonferenza APB presenta a sinistra e a destra di P un curvatura perfettamente simmetrica;

- il punto medio M della corda AB si trova esattamente sulla retta n;

- l'angolo a è nullo.

Da tutto ciò consegue che l'aberrazione di curvatura nel punto P di una circonferenza è zero, e questo vale per qualsiasi altro punto della circonferenza. Cosa questa che ci "autorizza" a considerare "regolare" la curvatura di tutti i punti di una circonferenza.

Ma il fatto si ripete anche per alcuni punti di altre curve, come il vertice di una parabola e quelli di un'ellisse o di un'iperbole: in essi, infatti - come si può facilmente verificare ricorrendo alla costruzione già citata - l'aberrazione di curvatura è ancora zero.