Se A e B costituiscono una sezione dell’insieme Q+ dei numeri razionali positivi tali che tutti i numeri appartenenti ad A siano minori di tutti quelli appartenenti a B e l’insieme A non sia dotato di massimo, allora esiste un unico numero reale L tale che

        

         

      Il numero L si chiama elemento separatore delle classi A e B e potrebbe anche non appartenere a Q+, ossia non essere un numero razionale positivo, come appare dal seguente esempio.

 

Esempio.

                Consideriamo la classe A dei numeri razionali positivi il cui quadrato sia minore di 3 , ossia in simboli

                                                       

e la classe B costituita da tutti i numeri razionali positivi il cui quadrato sia  maggiore o uguale a 3:

                                                 

                Qualunque sia il numero  e qualunque sia il numero , si ha:

                                                 

il numero L = √3   è, perciò, l’elemento separatore delle classi A e B ed esso non è un numero razionale positivo, bensì, come sappiamo, è un numero irrazionale. Anzi, questo modo di introdurre i numeri irrazionali come elementi di separazione tra due classi contigue di numeri razionali è stato il merito principale di Dedekind quando ha introdotto il suo assioma.

                Per essere più precisi, dall’esempio ora visto si evince la definizione del numero irrazionale √3 come elemento di separazione (che, in virtù dell’assioma di Dedekind, esiste) tra la classe costituita da tutti i numeri razionali positivi il cui quadrato è minore di 3 e la quella costituita da tutti i numeri razionali positivi il cui quadrato è maggiore o uguale a 3 (classi che sono contigue). E in maniera analoga si definiscono tutti gli altri numeri irrazionali.