Per ogni coppia a, b di numeri reali positivi esiste (almeno) un intero positivo N tale che


Osservazioni.
Questo assioma viene talvolta trattato come teorema e, come tale, viene dimostrato (ricorrendo ad una dimostrazione per assurdo). Altre volte viene enunciato come Principio. Insomma c’è un po’ di confusione.
Si tratta, comunque, di un’affermazione talmente intuitiva che può sembrare addirittura banale. Ma evidentemente essa riveste una certa importanza, perché in alcuni argomenti di algebra o di geometria si ricorre ad essa per andare avanti nella dimostrazione di ciò che si sta trattando.
In ogni caso, se ci fosse un Tizio che dovesse persistere nella banalità di questo assioma, gli si potrebbe prospettare la seguente spiegazione visiva:
Supponiamo che egli sia munito di un piccolo righello lungo 20 cm e che con esso voglia misurare un segmento lungo 800 milioni di chilometri. “Ce la farò?”, si potrebbe egli domandare. Ebbene, a dargli conforto interverrebbe proprio Archimede dicendogli: “Certo che ce la farai: basta che tu abbia la pazienza di usare il tuo righello 4.000 miliardi di volte più una”, e gli farebbe il seguente calcolo:
                  4.000.000.000.001•20 cm = 80.000.000.000.002 cm = 800.000.000,00002 km > 800.000.000 km
Quindi con questa operazione quel Tizio può arrivare fino all’altro estremo del lunghissimo segmento e superarlo, anche se di poco, dando ragione alla formula dell’assioma sopra riportato, nella quale, nel suo caso, dati



si è trovato per N il valore 4.000.000.000.001.