Se A e B costituiscono una sezione dell’insieme Q+ dei numeri razionali positivi tali che tutti i numeri appartenenti ad A siano minori di tutti quelli appartenenti a B e l’insieme A non sia dotato di massimo, allora esiste un unico numero reale L tale che

        

         

      Il numero L si chiama elemento separatore delle classi A e B e potrebbe anche non appartenere a Q+, ossia non essere un numero razionale positivo, come appare dal seguente esempio.

 

Esempio.

                Consideriamo la classe A dei numeri razionali positivi il cui quadrato sia minore di 3 , ossia in simboli

                                                       

e la classe B costituita da tutti i numeri razionali positivi il cui quadrato sia  maggiore o uguale a 3:

                                                 

                Qualunque sia il numero  e qualunque sia il numero , si ha:

                                                 

il numero L = √3   è, perciò, l’elemento separatore delle classi A e B ed esso non è un numero razionale positivo, bensì, come sappiamo, è un numero irrazionale. Anzi, questo modo di introdurre i numeri irrazionali come elementi di separazione tra due classi contigue di numeri razionali è stato il merito principale di Dedekind quando ha introdotto il suo assioma.

                Per essere più precisi, dall’esempio ora visto si evince la definizione del numero irrazionale √3 come elemento di separazione (che, in virtù dell’assioma di Dedekind, esiste) tra la classe costituita da tutti i numeri razionali positivi il cui quadrato è minore di 3 e la quella costituita da tutti i numeri razionali positivi il cui quadrato è maggiore o uguale a 3 (classi che sono contigue). E in maniera analoga si definiscono tutti gli altri numeri irrazionali.

 

Per ogni coppia a, b di numeri reali positivi esiste (almeno) un intero positivo N tale che


Osservazioni.
Questo assioma viene talvolta trattato come teorema e, come tale, viene dimostrato (ricorrendo ad una dimostrazione per assurdo). Altre volte viene enunciato come Principio. Insomma c’è un po’ di confusione.
Si tratta, comunque, di un’affermazione talmente intuitiva che può sembrare addirittura banale. Ma evidentemente essa riveste una certa importanza, perché in alcuni argomenti di algebra o di geometria si ricorre ad essa per andare avanti nella dimostrazione di ciò che si sta trattando.
In ogni caso, se ci fosse un Tizio che dovesse persistere nella banalità di questo assioma, gli si potrebbe prospettare la seguente spiegazione visiva:
Supponiamo che egli sia munito di un piccolo righello lungo 20 cm e che con esso voglia misurare un segmento lungo 800 milioni di chilometri. “Ce la farò?”, si potrebbe egli domandare. Ebbene, a dargli conforto interverrebbe proprio Archimede dicendogli: “Certo che ce la farai: basta che tu abbia la pazienza di usare il tuo righello 4.000 miliardi di volte più una”, e gli farebbe il seguente calcolo:
                  4.000.000.000.001•20 cm = 80.000.000.000.002 cm = 800.000.000,00002 km > 800.000.000 km
Quindi con questa operazione quel Tizio può arrivare fino all’altro estremo del lunghissimo segmento e superarlo, anche se di poco, dando ragione alla formula dell’assioma sopra riportato, nella quale, nel suo caso, dati



si è trovato per N il valore 4.000.000.000.001.